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千年之谜（序曲）：21世纪数学星空下的擎天七柱
来源：互联网
2024-11-12 00:11:07 版权归原作者所有，如有侵权，请联系我们
作者：黄逸文（中国科学院数学与系统科学研究院）
文章来源于科学大院公众号（ID：kexuedayuan）
编者按：
2000年初，美国克雷数学研究所选定了7个数学难题向世界征集答案，每个问题的解决都可获得一百万美元的奖励，因为在新千年提出而被称为“千年难题”。这些难题在一定程度上代表了当今数学的前沿走向，引领数学家们为之痴迷探索。
从今天起，大院将持续为大家带来“千年难题”背后的故事。这一次将简要介绍7个数学难题的提出背景和对现代社会发展的启示，以后的7篇将分述每个数学难题背后的动人细节。是不是很期待呢！
自古希腊始，数学作为理性科学的核心逐渐被人们重视。经历3000年理性的发展之后，得益于一些重大基础数学问题的突破，人类探索和发明的数学知识渐渐转化为生产力，终将自身带入了信息文明的时代。
尽管如此，一些悬而未决的数学问题历经千年仍顽固地为自身保守着秘密。每一个问题的解决，也许就意味着找到一座隐匿着未知真理的巨大宝藏。
比如数学中最古老的未解之谜——孪生素数猜想，就是由古希腊著名数学家欧几里得（Euclid）提出，距今已近2300年。关于该问题最重大的突破由华人数学家张益唐于2013年独自完成。
图1 古希腊数学家欧几里得（图片来源：维基百科）
图2 华人数学家张益唐（1955-，图片来源：aol.com）
另一个类似的例子则是声名卓著的费马（Fermat）大定理，其证明经过后世358年的接力赛才被英国数学家怀尔斯（Wiles）破译。这些重大的理论成就，都为数学开辟了一片新的天地。从长远的角度来说，任何数学最终都会成为应用数学，从而服务于人们的生产生活。随着现代数学的蓬勃发展，涌现出越来越多的重大问题函待解决。
图3 费马与费马大定理（1601-1665，图片来源：slideshare.net）
1900年，作为当时世界数学领域的领袖人物，德国大数学家希尔伯特（Hilbert）提出了雄心勃勃的23个数学问题，其高瞻远瞩的目光在很大程度上为整个20世纪的数学发展绘制了宏伟的蓝图。
图4 德国数学家希尔伯特（1862-1943，图片来源：维基百科）
一个世纪过后，所有的希尔伯特问题除了一个问题之外都已经得到完全或者部分解决。与此同时，美国克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute）也发起了一场深具历史意义的挑战：公开向世界征求七大数学难题的解答。七大难题的提出旨在为21世纪数学的研究制定议程，宛如黑暗中的灯塔指引着数学家迈向未来。解决任意一个七大数学难题的人，都将获得100万美元的奖金。
这些问题涉及到纯粹数学和应用数学中大多数最艰深和迷人的领域：从拓扑学和数论到粒子物理学、密码学、计算理论甚至到飞机设计。鉴于七大难题的提出时间在跨世纪之交，因此它们也被称为千年难题（Millennium Problems）。
图5 千年难题的封面（图片来源：claymath.org）
作为七大数学难题的倡导者之一，因解决费马大定理而名噪一时的英国数学家怀尔斯（Wiles）指出：希尔伯特试图用他的问题引导数学的发展，而当代的数学家则试图记载那些最重大的悬而未决的难题。这些难题未必能囊括所有的数学研究，但是它们十分精确地指出了当今数学的前沿走向。
图6 英国数学家怀尔斯（1953-，图片来源：维基百科）
七大难题就是21世纪数学宇宙里的七根擎天巨柱，支撑着现代数学的广袤空间。每一根巨柱都已经成长为一座高峰，让无数后来人叹为观止。七大难题位于数学之巅，它们或许比地球上任何的高峰都难以征服，攀登这些巅峰的艰难险阻依然被深深地笼罩在茫茫的迷雾之中。这些数学领域的珠穆朗玛峰，也代表着人类智力活动的巅峰，激励着一代又一代最杰出的数学家投身其中。他们挥洒着生命和热情去勇敢地攀登和征服这些最巍峨的高山，以期获得解锁人类未来文明的密码。
那么，七大千年难题有着怎样动人的故事呢？
千年之谜（一）黎曼猜想
这是1900年希尔伯特提出的23个唯一未被解决的问题，也是数学中最重大的未解决的难题。
1859年，德国数学家黎曼（Riemann）在提交给柏林科学院的论文中提出一个猜想，试图完全回答数学中最古老的问题之一：素数在自然数中的的分布规律。早在公元前350年，欧几里得（Euclid）已经证明了素数的个数有无穷多，但是对其分布的规律却一无所知。黎曼猜想则对这种分布规律提出了确定的模式。
图7 德国数学家黎曼（1826-1866，图片来源：维基百科）
这一猜想的解决很可能打开一扇宏伟的大门，将数学和物理以前所未有的形式连接在一起，从而有可能让当代文明受益于2000年来数论研究的杰出成就。在此之前，数论一直作为最纯粹的数学工具而与现实世界深度隔离。
千年之谜（二）杨-米尔斯（Yang-Mills）理论和质量缺口假设
1954年，物理学家杨振宁和米尔斯提出了一个方程，旨在使用非阿贝尔李群描述基本粒子的行为。杨-米尔斯理论被誉为20世纪下半叶最重要的理论物理成就，是现代规范场理论的基础。经过对称性自发破缺与渐进自由的观念，该理论逐渐发展成今天的标准模型。
图8 杨振宁（1922-）和Robert Mills（1927-1999）（图片来源：learner.org）
由杨米尔斯方程发展的标准模型准确地预言了在世界各地实验室中观察到的事实，其应用已经深入在物理学的其他分支中，诸如统计物理、凝聚态物理和非线性系统等等。从实践的角度来说，杨米尔斯方程已经获得巨大成功，但是其相应的数学理论还没有建立起来，特别是在数学上需要确定的“质量缺口假设”。该假设提供了电子为什么有质量的一种解释。
质量缺口假设的完全解决将提供严格的理论证明，同时也让物理学家受益。此前物理学家只能观察到电子有质量，却无法解释电子的质量从何而来。
千年之谜（三）P和NP问题
计算机领域诞生了两个影响人类文明进程的大问题。第一个就是希尔伯特提出的第十问题：是否存在一种机械的算法来判定丢番图（Diophantus）方程的可解性。英国数学家图灵（Turing）正是基于对该问题的思考而建立了图灵机，成为彪炳史册的现代计算机之父。
图9 图灵（1912-1954）和他设计的机器（图片来源：ilovemanchester.com）
另一个问题就是P和NP问题。此问题的核心是研究计算机解决问题的效率。计算机科学家把计算问题分成两类：这里的P指多项式时间（Polynomial），一个复杂问题如果能在多项式时间内解决，那么它便被称为P问题，这意味着计算机可以在有限时间内完成计算；NP指非确定性多项式时间（Nondeterministic Polynomial）。一个复杂问题不能确定在多项式时间内解决，假如NP问题能找到算法使其在多项式时间内解决，也就是证得了P=NP。
然而，现代绝大多数在工业和商业中的大型计算任务都是NP问题。对该问题的肯定解答将对工业和商业乃至互联网产生极为深远的影响。
千年之谜（四）纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes Equations）
从酷夏的炙热到凛冬的冰冷，人们日复一日地经历着瞬息万变的天气。准确的天气预报为人们的出行提供了极大的便利。每一次湖面的泛舟都有起伏不定的波浪追随，每一次云层上的飞行亦有舒缓湍急的气流相伴。数学家和物理学家都深信，无论是天气预报还是大浪湍流，都可以通过纳维-斯托克斯方程的解来刻画和解释。
19世纪中叶，法国科学家纳维和英国物理学家斯托克斯提出了描述流体和气体运动行为的方程。该方程揭示了一般分子运动的基本规律，因此对物质运动提供了最深刻和可靠的理解。跟随现代文明的脚步，它逐渐在天气预报、大气海洋、石油勘探、电气工程、水利工程、机械制造、国防军工（诸如核弹模拟）、飞机设计、航空动力学、航天工程、行星运动等前沿科技与工业制造中发挥着核心的作用。
图10 法国科学家纳维（左，1785-1836）和英国物理学家斯托克斯（右，1819-1903）（图片来源：维基百科）
破译纳维-斯托克斯方程解的密码，无疑将在科技和实践层面带来翻天覆地的突破，提升整个现代文明的等级。
千年之谜（五）庞加莱猜想（Poincare）
19世纪末，法国大数学家庞加莱（Poincare）提出了一个数学领域的简单问题：怎样才能把一个苹果和一个甜甜圈区分开来？
该问题位于数学中最迷人的领域之一——拓扑学，它以深刻而基本的方式展现了物质形体之间的关联。庞加莱猜想的完全解决将帮助人们完全了解物质的空间几何结构的存在形式。这一问题的彻底解决，将对半导体等电子器件的设计和制造、万维网的设计、交通运输规划、动画设计甚至对大脑神经元的结构都将有革命性的认识。
拓扑学不仅在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程和其他许多数学分支中都有广泛的应用，也对物理学产生重大的推动作用。2016年，三位物理学家因为发现物质拓扑相和在拓扑相变理论上的突出贡献而分享了诺贝尔奖。
图11 戴维·索利斯、邓肯·霍尔丹、迈克尔·科斯特利茨分享2016年诺贝尔物理学奖（图片来源：chinadaily.com.cn）
鉴于其重大的理论和工业影响力，庞加莱猜想顺理成章地成为拓扑学的圣杯。令人欣慰的是，该猜想最终由俄罗斯的天才数学家佩雷尔曼（Perelman）在2004年完全解决。这也是迄今为止唯一被破译的千年之谜。
图12 佩雷尔曼（1966-）和庞加莱（1854-1912）（图片来源：funnyjunk.com）
千年之谜（六）伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想（Birch and Swinnerton-Dye）
公元3世纪，古希腊亚历山大城的数学家丢番图开始研究一类系数为整数的不定方程的解。寻找此类丢番图方程的整数解开启了代数学上最为辉煌的一个分支。比如著名的费马大定理就是无数丢番图方程的一个极其简单的特例。
对于更加复杂的方程，要了解方程解的信息变得极为困难。伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想提供了关于某些困难情况下的解的信息。
图13 英国数学家伯奇（右，1931-）和斯温纳顿-戴尔（左，1927-）（图片来源：claymath.org）
和黎曼猜想一样，对这一问题的解答将增加我们对素数的全面理解，从而有可能找到上帝用自然数创世的密码。
千年之谜（七）霍奇猜想（Hodge）
20世纪上半叶，数学家发现了研究复杂对象形状的有力方法。其基本的想法就是把维数逐渐增加的简单几何砌块粘合在一起，从而逼近一个给定对象的形状。这种想法的核心问题就在于逼近物体的程度。
图14 英国数学家霍奇（1903-1975，图片来源：claymath.org）
基于不同逼近方式的分类，数学家发明了许多有力的工具，它们在实践中被证明极富成效，但是却缺乏这个过程的几何源头。霍奇猜想断言，对这些对象中的一类重要对象（射影代数簇），即被称为霍奇闭链的部件均是几何部件（代数闭链）的组合。用通俗的语言来说或，霍奇猜想表明：任何一座精美宏伟的宫殿，都可以由一堆积木垒成。
最新的研究则表明，霍奇猜想与广义相对论、量子纠缠和庞加莱猜想在更深的层次上有可能融为一体。对它的深刻认知，有助于了解宇宙中最深邃奇妙的物质构成。
昔日，希尔伯特以一己之力提出23个问题，缔造了20世纪数学的辉煌。我们也有理由相信，百年之后的七大难题，会再一次成为21世纪数学星空下的擎天七柱，帮助人类文明抵达深远璀璨的未来。
下期请看：千年之谜（一）黎曼猜想
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